平行公设是欧几里得的《几何原本》中提出的五条公设，《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，不那么显而易见。以致《几何原本》的注释者和评述者们提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理，用前四个公理来证明？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
为了给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到19世纪初，数学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但都遭到了失败。
在前人失败的启迪下，罗巴切夫斯基开始卒思维角度。他另辟蹊径，提出了一个和欧式平行公设相矛盾的命题，即通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。如果在这个系统为基础的推理中出现矛盾，那么就可以证明第五公设。这种方法是一种反证法，但结果有点出乎意料，罗巴切夫斯基得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。这时，他意识到他发现了几何界的世外桃源——非欧几何。
1826年2月23日，罗巴切夫斯基公开了第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。它的发表标志着非欧几何的诞生。可来到世上，并没有给数学界带来惊喜，相反，许多正统数学家视之为数学上的“异端”，并加以反对甚至攻击。但罗巴切夫斯基坚信自己的理论，并且顽强地守护和发展着自己开创的这片数学领域。先后发表了《几何学原理》和《平行线理论和几何研究》等论文，进一步完善和发展了非欧几何的理论。
转眼间，30年过去了，罗巴切夫斯基的容颜已老。但数学界还是不能接受他的非欧几何理论。但他始终没有放弃传播自己的理论，不仅如此，他还把自己的理论推及到了天文观测上，设计出了检验大尺度空间几何特性的天文观测方案。此外，他还发表了许多的论文和著作，发展了非欧几何的解析和微分部分，使之形成一个完整的理论体系。
晚年的罗巴切夫斯基双目失明，但还是舍不得他的几何研究，1855年，他口授完成了最后一部巨著《论几何学》。次年2月14日，罗巴切夫斯基在俄国喀山病逝。
时间能检验一切真理。1868年，意大利数学家贝特拉米证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这时，非欧几何才得到了数学界的承认。罗巴切夫斯基也因在几何学的革命性贡献，被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
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