《勾股割圆记》及其托名吴思孝的注是戴震最完整、篇幅最长的数学著作，清秦蕙田《五礼通考》全载其上中下三篇，乾隆三十八年（1773）曲阜孔继涵刻《算经十书》时，亦收入《策算》和《勾股割圆记》②。恩格斯曾说：“天文学只有借助于数学才能发展，因此也开始了数学的研究。”③从科学史的发展看确实如此，有趣的是，王锡阐、梅文鼎、戴震的数学研究都是为农业生产“绝对需要它”①的天文学服务，为解决天文学问题而系统研究数学的。托名吴思孝的戴震自序说：“《勾股割圆》之书三卷，余友戴君东原所撰，戴君之于经，分数大端，各究洞源委，步算其一也??今夏初，戴君以所为《勾股割圆记》示余，读其文辞，始非秦汉已后书，其于古今步算之大全，约以二千言而尽，可谓奇矣。”②可见《割圆记》的写作目的和内容都与古代天文研究有关。
数学是在世代系列的人类社会实践中逐渐累积和发展起来的，它始终体现了运动的最普遍的本质：“吸引和排斥这一古老的两极对立。”③数学研究，当然能涉及“普遍联系”的辩证关系。戴震的《勾股割圆记》比相同的数学对象的其他研究还多了一层，除了勾股定理在种种较为简单的和最为复杂的等式和不等式关系中的运用以外，还有中法表达和西法表达的相同和不同含义的处理，戴震的这一名著，十分正确、贴切地处理了这些有“普遍联系”的关系，形成了一个和谐的整体。从“普遍联系”去看全书内容，有两个大的方面，一是有关勾股弦关系的基本概念的解释，二是勾股应用割圆术。（一）基本概念的解释要点1、《记》上：“割圆之法，中其圆而觚分之，截圆周为弧背， （按：gèng 连接两端）弧背之两端曰弦，值弧与弦之半曰矢。”按：这里给弧、弦、矢下了定义。其含义为：圆内两直径相交，截成两两相等的弧，连接弧的两端就是弦，过弦作垂直平分线交于弧叫矢。如任取圆周之一弧而连接其两端成一弦，原理同。
② 《勾股割圆记》有种种版本，《五礼通考》本分上中下三篇共2417 字，有图注和托名吴思孝的补注。段玉裁经韵楼本三篇共2268 字（四部丛刊本《戴东原集》依此）。孔继涵在乾隆四十二年（1777）刊《戴氏遗书》，将《割圆记》四篇作为《原象》的五、六、七、八（《原象》的一至四为“璇玑玉衡”、“中星”、“土圭”、“五纪”，段玉裁曾谓此四篇合《割圆记》三篇，再加《迎日推策记》为《原象》，但经韵楼本又将《割圆记》三篇另列，不与《原象》四篇同卷，这与《戴氏遗书》本大不同），共2785 字（《昭代丛书续篇补》依此）。微波谢本三卷，共2735 字，为安徽丛书第六期《戴东原先生全集》所本，有吴思孝注和图注，本书对《勾股割圆记》的研究以安徽丛书本为据。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版162 页。
① 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
② 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》托名吴思孝序。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
① 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》，本节有关戴震数学资料未注出处的皆见该书。并将《勾股割圆记》简称为《记》。
2、《记》上：“弧矢之内成相等之勾股二，半弧弦为勾，减矢于圆半径，余为股。勾股之两端曰径隅，亦谓之弦，勾股之弦得圆半径也。”
按：径隅为《周髀算径》的旧名。承1，将弦的中垂线交于圆之两端，形成以圆心为顶点的两全等直角三角形，该直角三角形的弦等于圆半径，戴称之为径隅。戴震认为，此原理对求解天球黄道赤道夹角等极有用，由弧长求勾股，由勾股求弧长和矢（按：均可，因半径为定值），由弧、矢而承勾股求出整个圆面，“步算之能事毕矣”。天文推步在勾股割圆中得到说明。3、在注释本中，戴震详细介绍了圆周率的计算方法和历史。
4、《记》上：“勾股弦三矩方之，合勾与股三方适如弦之大方。”
按：戴震在注文中详细介绍了溯自《周髀算经》中的勾股定理，今之表达甚简：设勾股弦为abc，则c2=a2+b2以上由勾股割圆中的一些基本概念（名称）、定义的确定、圆周率和勾股定理的介绍，明确了戴震研究勾股割圆术的基本点。所谓“勾股割圆”实际上是指直角三角形与圆面（即过圆直径的圆内接直角三角形）的同一性关系的处理。以上基本点无疑是处理这一同一性关系的数学基础。应该说，把这种带有自然辨证哲学特点的同一性关系放到门类科学中去看，它将是十分复杂的，戴震研究的勾股术就是这种同一性在数学上的复杂的具体表现，透过数学研究，我们看到的正是著作者的科学头脑，辩证思路和逻辑方法。（二）勾股割圆术的应用要点的分析1、《记》上：“有勾有股求其弦：勾自乘、股自乘，并之开方得弦。”
按：此即用公式：c= a b 2 2 +2、即用公式：b= c a 2 2 -3、即用公式：a= c b 2 2 - 对此，戴震还看到与第二术的联系。《记》上云：“凡曰勾曰股者其名可互易，故与第二术同。”
在第三术中，戴震又说：“减矢于圆经，余为股，弦和矢恒为股弦较（凡两数相并为和，相减余为较），和、较相乘为勾之方。
按：设：圆内以圆心为顶点的直角三角形勾、股、弦为a、b、c，矢为s，半径为r，则：b＝r 一s，s（矢，又称股弦较）＝c 一b＝r 一b，（r＋b）（r 一b）＝a2 亦即a2=(c+b)(c-b)。其实，此定理还可推广成：圆内两任意直线相交，各直线被圆和交点切成的两线段之积相等。戴震其时尚未识此。在第三术中，戴震说：“减勾于圆半径，余为次弧背之矢。倍股为次弧弦。减次弧背之矢于圆径，余为勾。弦和其矢为勾弦较，和，较相乘为股之方。”
按：如图，戴震意谓为次弧背，gf 为次弧背之矢。则：①gf=ofog=of-cb②be=2bg=2oc③cb=og=of-gf④oc2=bg·ge=gf·gh 戴震的这一勾股术，实际上将过圆心的直角三角形推广到圆内接长方形观察之。戴说甚确。4、《记》上：“有半弧弦（又名内矩分），有矢，求其圆径，半弧弦自乘，矢除之，加矢，为圆径。”
按：戴震术语中的内矩即弦，内矩分即弦之半。此处的圆径指直径而言，如图：已知a、s，求2r，则据圆内直线相交定理：a2=s(r-s+r)a2=2rs-s2 2r=as2+s。
5、《记》上：“有矢，有圆径，求半弧弦，以矢为股弦较，于圆径减矢余为股勾和，和、较相乘，开方得勾，勾即半弧弦，倍之为全弦。”
按：用上图，设6 为直径，则据圆内直线相交定理a2s(d-s) a= sd s - 26、《记》上：“有半弧弦，有圆径，有矢。以半弧弦与圆半径相减得次弧背之矢，为勾弦较，相并为勾弦和，和较相乘，开方得股，股即次半弧弦（又名次内矩分），以减圆半径得矢”。
按：此题可按§4 图解之，已知a、d，求s，则s(d-s)=a2s2-sd+a2=0 需解一元二次方程得s，戴震当时尚未识此。戴解此题的思路是用另§3 图解得的。设：dc 为s，勾bc 为a，ob 为r，则gf=r-a，gh=r+aoc2=bg·ge=gf·gh=(r-a)(r+a) oc= ( )( ) r a r a + - oc=bg，即戴震所谓次内矩分、次半弧弦。s=r-oc=r-bg=r- ( )( ) r a r a + -十分清楚，戴震的勾股第四、五、六术联系十分紧密，如从代数学角度看，是同一代数式设不同未知数解方程。戴震是从几何学去寻觅不同联系的。第六术中戴震还说：“方圆相函之体，用截圆之周径而函勾股和、较之率，四分圆周之一如之。规方之四隅而函圆之周，凡四觚（按：gū角）如之。因方以为勾股，函圆之半周，凡三觚如之。”
按：为解释此说，戴震共画了五个图，意思是说在正方形，任意四边形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形端点画圆截弧，前两者弧之和均为360°，后两者均为180°。这实际上是把多边形与圆联系起来探讨两者的关系，结论是，任意四边形内角和总是等于一个圆，任意三角形内角和总是等于半个圆。这无疑是正确的。
此外，在第六术中，戴震还举出了勾股术在工程上的应用，如测水平、测高度、测深度、测距离等。戴震十分讲究技术应用，基础理论和技术应用之间没有鸿沟，虽然它们的前提都挂上为解经服务，但科学和技术实际上都成了独立研究的对象。
7、《记》上：“有次矩分，求矩分，以积矩为实，次矩分为法，除之得矩分。”又说：“有矩分求次矩分，以积矩为实，矩分为法，除之得次矩分。”按：这实际上是戴震把长方形和圆联系起来考察，视长方形为圆内接长方形，矩分为边长，积矩为矩分和次矩分之积，实际上是长方形面积，“实”为被除数，“法”为除数。戴说甚明。戴震明确指出：“右即广袤互求之法”。“广”即宽度，“袤”即长度。
8、仍是工程测量问题，所谓“有矩分（边长）求径引数（工程测量中垂线随处所指引起大于圆半径的伸长部分）”。此外，戴震还讨论了圆内接正六边形边长等于圆半径，圆内接正十边形边长为：以该圆半径为股，该圆半径之半为勾，求其弦，然后得弦与勾之差即为正十边形边长。戴氏甚确。9、实际上是将两相似直角三角形作比较，用比例法解勾股问题，以解决工程测量中的求远处高度之类的问题（本来可以直接用三角函数，如h＝csina，戴震化为勾股比例问题，原理同，但稍烦，戴震表彰中法，故有此算法）。《记》上：“凡勾股弦大小大互求，必得其三，则可以知其四，以原有之两矩定其率，今有之一矩，合而权之，异乘同除，得所求之一矩。”按：此话甚费解，试设两直角三角形相似，勾股弦分别为a、b、c 和a、b、c①戴云：“小股与大勾相乘，小勾除之，得大股。”解：如图则（式中小股与大勾相乘，戴谓之“异乘”，大勾与小勾相除，戴谓之“同除”，以下同此类推之。）
②戴云：“小勾与大股相乘，小股除之，得大勾”。解：如图：③戴云：“大股与小勾相乘，大勾除之，得小股”。解：如图：④戴云：“大勾与小股相乘，大股除之，得小勾”。解：如图：⑤戴云：“小弦与大勾相乘，小勾除之，得大勾”。解：如图：⑥戴云：“小勾与大弦相乘，小弦除之，得大勾”。解：如图：⑦戴云：“大弦与小勾相乘，大勾除之，得小弦”。解：如图：⑧戴云：“大勾与小弦相乘，大弦除之，得小勾”。解：如图：</pgn0213.txt/pgn>⑨戴云：“小弦与大股相乘，小股除之，得大弦”。解：如图：⑩戴云：“小股与大弦相乘，小弦除之，得大股”。解：如图：戴云：“大弦与小股相乘，大股除之，得小弦”。解：如图：戴云：“大0 股与小弦相乘，大弦除之，得小股”。解：如图：针对以上十二种情形，戴震认为：“割圆之法，尽于勾股互权”。它的实际用途仍在工程测量上，戴震举了“隔水测崖高”说明之。
10、除重申§6 介绍的第六术以外，以勾股法讲述三角函数的求解，戴震注指出：他所说的“矩分”指正切，“内矩分”指正弦，“径引数”指正割，“次矩分”指余切，“次内矩分”指余弦，“次引数”指“余割”。例如，戴震说：“有次内矩分，有内矩分，求矩分：以圆半径乘内矩分，内矩分除之，得矩分。”
按：先按戴震的中法解之，参用§3 的图。已知：bg，bc 则矩分tg∠boc=r bcbg·这就是戴震关于矩分的值，因通常割圆时以半径作为单位长度看待，故tg∠boc=bcbg=bcoc若以戴震注明西学术语解之，则戴震的说法可写作：tga＝r aa·sincos，通常以半径为单位长度，则tga＝sincosaa，甚确。至于戴震第二术中讲述的余切、正割、余割、正弦、余弦的求解法，情况类此。本条完全可以看出戴震中西互为表里的学术思想。值得重视。
11、勾股第十一术实际上是讲半角公式，《记》上：“求分弧内矩分及次内矩分：以矢与圆半径相乘，半之，开方，得分弧之内矩分。以内矩分与分弧之内矩分相乘，矢除之，得分弧之次内矩分。”
按：分弧指的一半，设dc 为s，半径bo 为r，∠bod 为a，按题意为求解be（分弧内矩分）的长度。亦即rsina2号戴震的结论是：be＝sr2今按半角公式证之：sina2=12- cos a在直角△boc 中cosa=ocr=r sr-故sina2=12-- r sr =sr 2be=rsr 2=rs2又：求解分弧的次内矩分，即求分弧的余弦oe，戴震公式为oe=bc bes×（式中bc 为原弧内矩分），be 为分弧内矩分，因直角△bce 与直角△oeb 相似，bedc=bobd=oebc即bes=rbd=oebc故oe=bc bes×证讫。
12、第十二术实际上是倍角公式。但表达全用中法勾股木。《记》上：“求倍弧内矩分及次内矩分，以内矩分与次内矩分相乘，倍之为实，（即内矩分乘倍次内矩分之数），径隅除之，得倍弧内矩分。若内矩分自乘倍之为实（即内矩分乘倍内矩分之数），径隅除之得倍弧之矢，减矢于圆半径，得倍弧之次内矩分。
按：据戴震术语，内矩分为正弦，次内矩分为余弦，设∠boc 为a，则∠boe=2a，据题求be 和oe，显指求2a 的正弦值和余弦值。据戴震说法：公式当为：be=2bc ocr·（式中r 表示径隅，亦即半径，直角三角形中的弦）
oe=r-2 2 bcr。现证明如下：直角△ bae～直角△ boc，故bdba=bcae=ocbebe=ba ocbo·=2bc ocr·证讫一式。ae=bc babo·=bc bcbo·2=2 2 bcroe=oa-ae=r-2 2 bcr证讫二式。戴震用中法来理解倍角的正弦和余弦是完全正确的。
13、第十三术戴震叙述了两角和的正弦公式。两角差的正弦公式、两角和余弦公式、两角差余弦公式。《记》上：“有大小两弧求其和弧、较弧内矩分及次内矩分，以大弧两矩分与小弧次内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半和；以大弧次内矩分与小弧内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半较。加半较于半和为和弧内矩分；减半较于半和，为较弧内矩分。”按：设大弧对应的角为α，小弧的角为β，则两弧之和或两角之和为α＋β。由术语内矩分正弧，次内矩分为余弧。由勾股值，戴震上述表达可写作：rsin(α＋β)=r rrsin cos α· β+r rrcos sin α· β=r(sinαcosβ+cosαsinβ)故sin(α＋β)=sinαcosβ+cosαsinβ.所谓较弧即指两角之差。戴震上述表达的另一部分可写作rsin(α-β)=r rrsin cos α· β-r rrcos sin α· β=r(sinαcosβ-cosαsinβ)故sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ最后的等式表明，戴震表达的“两角和之内矩分”与两角和的次内矩分”、“两角差的次内矩分”与现代数学中的cos(α+β)、cos(α-β)的等值式公内容完全一致。戴震的中法说明完全合乎西法。
戴震在此第十三术中，还举例说明两角和与两角差的正弦、余弦值的广泛使用。在戴震看来，源于实用的勾股，其原理不管多么复杂，当即还之实用，这是贯穿全书的数学应用思想。值得注意的是，戴震还讲了勾股割圆的历史发展，讲述了梅文鼎和薛凤祚成就和不足。戴震认为，古代割圆法之深入的论述（如本节十二术己是较深的割圆术）“书缺失传”，元时授时历有“弧矢割圆图”，但仅讲了“共半弧背之勾股，小大互求”。这无疑是勾股割圆的基础，可由此推广到一切复杂的使用，但很可惜，没有深入下去。戴震对这一基本原理十分重视，他认为：“实足以尽割圆之理，凡小大可互求者未有非共半弧背者也。”数学史的发展至于彼之晚近，戴震说：近人殚精此学，如梅定九、薛仪甫诸家兼通西洋之说，有八线表、平三角、弧三角等法，虽别立名目，于古之勾股弧矢不异。惜译书时欲张其说，凡一语可该，必衍为千百言，多其端绪，使观之者目眩而莫测其涯涘，又讳言立法之本出于勾股弧矢，转谓勾股不能御三角，三角不能御勾股。以梅氏考论之，详于平三角举要，论三角形用正弦，为比例之理，凡为图者十，而不能知其为“共半弧背之勾股”，其他大抵类此。
在戴震看来，梅文鼎并没有将西学的平面三角和中学的勾股割圆很好地结合起来，对此他很不满意。诚然，这里有些误会②。但戴震中西结合的学术思想是明确的。在具体表述上，科学的选择还是选择了西学的三角函数式。最根本的原因还是使用方便，尤其在进一步的深层连锁推理中，简明灵便的三角函数式较为优越，戴震的割圆术成了科学史研究的对象，但正象使用莱布尼兹微积分并不否定牛顿的奇勋那样，戴震的勾股术与三角学相比较，同样正确，有同等的功效，有同样的应用价值，只是没有形成系统配套的代数式构成的计算体系，仅限于这一点，或许可以说，戴震割圆术较之三角学还缺少点儿什么：那就是爱因斯坦所说的逻辑的简单性和数学的简单性原则。
14、实际上是讲正弦定理，戴震以西名注之云：“今名两角夹一边求余角余边，所知两角不夹所知之一边术同。”《记》上云：“有正弧及对正觚之距，有对所有一距之觚规限（按：度数），求其距：以对所求一距之觚规限内矩分乘对正觚之距，正弧内矩分除之，得所求之距。”
按：设圆内接三角形abc 三边长为a、b、c，据戴震题意，已知即∠a，a， ∠b，求b 的长度。戴震的解法是：sinsinb aa·=b，可改写成：aa sin=bb sin，故谓戴勾股十四术是正弦定理。
15、仍为正弦定理。戴以西名注之曰：“今名两边一角，角有所对之边，求余角余边。”《记》上：“有正弧及对正觚之距，有对所求一觚之距，求其弧规限；以对所求一觚之距乘正弧内矩分，对正觎之距除之，得所求之觚规限内矩分（此即前术转而用之）。”
按：用上图，据题意，已知即∠a，a，b，求∠b。戴震的解法是：b aasin=sinb，可改写成bb sin=aa sin，故谓戴勾股十五术仍为正弦定理。
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